مطالعه تابع متغیر مختلط 1

اثبات قضیه ی انتگرال کوشی به کمک قضیه ی استوکس قضیه ی انتگرال کوشی یکی از دو قضیه ی اصلی در نظریه ی رفتار توابع متغییر مختلط است نخست اثباتی برای این قضیه تحت شرایط نسبتا محدود کننده کاربرد های فیزیکی ارائه می کنیم ،این شرایط از دید ریاضیدانانی که نظریه های تجریدی زیبا را وضع می کنند غیر قابل تحمل است ،اما

دسته بندی	ریاضی
بازدید ها	7
فرمت فایل	doc
حجم فایل	1842 کیلو بایت
تعداد صفحات فایل	78

فروشنده فایل

کد کاربری 48

تمام فایل ها

شرایط کوشی _ریمان

اکنون که با توابع مختلط یک متغییر مختلط آشنا شدیم ،به مشتق گیری از آنها اقدام میکنیم .مشتق ،مانند مشتق یک تابع حقیقی ،بنابر تعریف عبارت است از :

(6.22)

شکل ۶-۵ :مسیرهای مختلف نزدیک شدن به ₀ z

به شرط آنکه حد،از شیوه ی خاص نزدیک شدن به نقطه ی zمستقل است .برای متغیر های حقیقی شرط آنکه مشتق در₀x=x وجود داشته باشد ،آن است که

حد سمت راست (₀ x→x ،از مقادیر بزرگتر ) با حد سمت چپ(x→x₀ ،از مقادیر کوچکتر ) برابر باشد . اکنون به ازای z(یا ₀ z) به صورت نقطه ای در یک صفحه ،این شرط ،که حد از جهت نزدیک شدن مستقل باشد ،بسیار محدود کننده است .نمو های δx و δy به ترتیب در xوy ،را در نظر بگیرید .در نتیجه داریم:

(6.23)

همچنین

(6.24)

بنابراین داریم

. (6.25)

حالا،حد بیان شده در معادله ی( ۶-۲۳ )را بدست می آوریم ،مطابق شکل( ۶-۵)،از دو مسیر مختلف به z نزدیک می شویم .نخست ،به ازای δy=0 حدδx→0 را می یا بیم . از معادله ۶-۲۴میرسیم به

(6.26)

با این فرض که مشتقهای پاره ای وجود داشته باشند . برای مسیر دوم نزدیک شدن ،قرار می دهیم δx=0 و آنگاه حد0→δy را محاسبه می کنیم . در نتیجه

(6.27)

برای انکه مشتق df/dzوجود داشته باشد ،باید معادله های (۶.۲۶)و( ۶.۲۷ ) عین هم باشند . با مساوی قرار دادن اجزای حقیقی با هم و اجزا ی مو هومی با هم (مانند مو لفه های بردارهای مساوی )،خواهیم داشت:

. (6.28)

این شرایط را شرایط کوشی_ریمان می گویند .کوشی این شرایط را کشف کرد و ریمان از آنها در نظریه ی توابع تحلیلی به نحو گسترده ای بهره گرفت . شرایط کوشی _ریمان برای وجود مشتق ،شرایط لازم به شمار می آیند یعنی اگر وجود داشته با شد ،شرایط کوشی _ ریمان باید برقرار باشد.آنها میتوانند بطور هندسی تفسیر شوند .حالا آنها را بعنوان حاصلی از نسبت مشتقهای پاره ای می نویسیم

(6.29)

به اختصار

شکل ۶-۶:شیبهای متعامد خطهای ثابت = وثابت=.

حالا معنای هندسی u_y / u_x- را بصورت شیبtan هر منحنی( ثابت =u(x,y)) بخاطر می آوریم .معادله ۱-۵۴را ببینید .و همانند آن برای( v(x,y) =ثابت) (شکل ۶-۶). بنا براین معادله

۶-۲۹بدین معنی است که ثابت = u وثابت = v . از طرفین منحنی ها در هر محل تقاتع متعامد هستند زیرا cosα = β = sin (α+90° ) و- sinα = cosβ ایجاب میکند که 1- = tanβ .tanα با نسبت گرفتن . به طور متناوب

حالتهایی که اگر (dx,dy)مماس برمنحنیu باشد پس عمود(- dx, dy) مماس بر منحنی v در نقطه ی تقاطعz = (x,y) است . به طور معادل0 = v_y u _y + v_x u_x ایجاب میکند که شیب بردارهای

u_x , u _y ) ) و( v_yو v_x)

عمود باشد بر عکس ،اگر شرایط کوشی _ریمان برقرار ،و مشتقهای پاره ای u(x,y) وv(x,y) پیوسته باشند ،مشتق df/dz وجود خواهد داشت . برای اثبات این ادعا می توان نوشت :

(6.30)

ویژگیهای تحلیلی نگاشتجبر مختلطهمیوغ مختلطشرایط کوشی _ریمانقضیه ی انتگرال کوشیبسط لوراننگاشت